Vector Space

벡터 공간 (Vector Space)

어떤 대상의 성질을 표현하는데 사용되는 데이터

• 공간의 차원을 하나 늘리는 방법으로 현실 세계의 공간과 유사한 가상 공간을 만든다.

• 3차원 물체의 표현 - 3차원 + 이동의 구현 - 1차원 → 총 4차원의 공간을 활용

벡터 공간을 물체를 구성하는 공간과 이동을 표현하는 공간을 나누어서 관리한다.

물체를 구성하는 공간

• 수학에선 물체를 구성하는 공간을 아핀공간이라고도 한다.

• 물체를 구성하는 공간을 표현하기 위한 요소를 점(Point)이라고 한다.

• 즉, 가상 공간의 물체는 점으로 구성되어 있다.

이동을 표현하는 공간

• 이동을 표현하는 공간에 속한 벡터를 벡터 또는 이동 벡터 라고 부른다.

• 이동 벡터는 물리적 벡터에 해당된다.

• 아핀공간의 점을 사용해 물체를 만들고, 이동 벡터가 가지고 있는 크기와 방향을 사용해 점을 이동시킨다.

점으로 구성된 아핀공간과이동 벡터로 구성된 부분 공간은 서로 분리된 공간이지만 두 점(점과 이동된 점)의 뺼셈을 통해서 다른 공간의 데이터를 계산할 수 있다.

• P1 + v = P2 → v = P2 - P1

수학적 벡터 → 벡터 공간의 원소

물리적 벡터 → 크기와 방향을 가진 대상

벡터 공간의 공간과 현실 세계의 공간은 전혀 다른 개념이다.

• 현실 세계는 하나의 공간만 존재한다.

• 가상 세계는 무한대의 가상 공간을 만들 수 있다.

• 가상 세계에서 사용하는 공간은 3차원으로 보이지만 실제로 4차원 공간이다.

  • 물체를 구성하는 공간 (3차원) + 이동을 표현하는 공간 (1차원) → 4차원

월드 공간

• 게임의 공간은 공간이 움직일 필요가 없기 때문에 4차원 공간 중 3차원만 사용되며, 이동을 표현하는 공간은 기본값 (0, 0, 0)으로 둔다.

• 이런 움직이지 않는 중심이 되는 공간을 월드 공간이라 한다.

로컬 공간

• 물체는 아핀공간의 점들로 구성되어 있다.

• 이 점들을 관리하기 위해서는 점들을 포괄하는 공간이 필요한데 이 역시 3차원이 아닌 4차원으로 구성된다.

• 물체의 점을 담는 공간을 로컬 공간이라고 한다.

• 물체는 계속해서 이동이 되기 때문에 나머지 1차원(이동 벡터)를 야무지게 사용해야 한다.

물체를 배치하는 과정

• 물체를 드래그하여 월드 공간에 배치하는 과정은 물체를 구성하는 점을 월드 공간으로 이동시키는것으로 보이지만 실제로는 물체를 담는 로컬 공간을 월드 공간 위에 덮어 포갠다고 이해하자.

• 즉 물체를 구성하는 점은 자기가 속한 공간(로컬 공간)을 바꾸지 않는다.

  • 로컬 공간은 항상 물체와 같이 따라 다닌다.

• 로컬 공간에서 물체를 표현하는 차원을 제외한 나머지 1차원(x,y,z)을 조정하여 로컬 공간을 이동시키는 것

  • 해당 방식으로 월드 공간에서 물체가 이동되는것 처럼 표현된다.

공간은 눈으로 보이는 것이 아니고, 4차원 공간 자체도 인지하기가 불가능하기 때문에 나머지 공간의 존재를 느낄수도 없다.

물체의 배치 설정 로직

• 렌더링 로직과 달리 특수한 경우를 제외하고 점의 수학을 사용할 일이 없다.

• 물체가 이동하는 것은 물체가 구성하는 점이 이동하는 것이 아니라 물체를 담는 공간이 이동하는 것이다.

• 즉, 점을 다루지 않고 평행 이동한 공간의 원점과 그 공간을 구성하는 중심축의 변환에만 신경쓰면 된다.

• 공간의 변환을 설정하는 것을 Transform 이라 한다. (크기, 회전, 위치를 순서대로 조합한 변환)