Math

공간의 수학

현실 세계의 공간은 하나지만, 가상 공간은 무한하다.

공간이란 어떤 물질 또는 물체가 존재할 수 있거나 어떤 일이 일어날 수 있는 장소

행렬 (Matrix)

선형 변환을 수행하는 도구

• 컴퓨터에게 가상공간을 빠르게 변화시키도록 지시하는 일종의 명령어

• 공간을 변환할 때 사용하는 것들은 다 행렬에 대응된다.

원하는 공간 변환을 구현하기 위해서는 행렬이 어떻게 만들어지고, 어떻게 설계해야하는지 기본원리를 이해하는것이 중요하다.

평면의 방정식

ax + by + cz + d = 0

• 여러개의 평면을 사용해서 공간안에 자신의 영역을 구축할 수 있다.

• 대표적인 예로 카메라 영역을 제어하는 절두체(Frustum)가 있다.

절두체(Frustum)란, 6개의 평면으로 구성되며, 3D 공간에서 카메라 영역에 담긴 부분만 걸러내 실제로 렌더링시키는 매커니즘을 가지고 있다.

물체의 수학

가상 공간의 체계와 물체를 구성하는데 사용하는 수학

아핀조합

$aP_1 + bP_2 \\ = a(x_1, y_1, 1) + b(x_2,y_2,1)\\ = (ax_1,b y_1, a) + (bx_2,by_2,b) \\= (ax_1 +bx_1, ay_1 + by_2 , a+b)$

만약 $a + b = 1$인 경우 그 두 점을 더 했을 때 항상 점이 된다.

해당 조건을 상시화시킨다면 $P = aP_1 + (1 -a)P_2$ 즉, a값과는 무관하게 마지막 차원의 값은 1이 된다.

• 즉, 점과 점을 더 했을 때 언제나 아핀공간의 점을 보장한다.

• 두 점을 조합했을 때 새로운 점을 만드는 공식이 된다.

면을 생성 하는 수학

점 3개를 조합하는 메커니즘

$P = aP_1 + bP_2 + (1 - a - b)P_3$

• 세 점을 조합한 결과는 평면을 만들어 낸다.

• 세 점에 사용되는 계수의 값의 범위를 0 ~ 1로 제한하게 되면 세 점이 가지고 있는 영역 내부에 위치하는 점을 생성하는데 이것이 바로 삼각형의 영역이 된다.

• 이 삼각형이 모여 물체를 구성하게 되고 이것들을 하나씩 그려주는 것이 결국 그래픽의 원리이다.

• 이런 삼각형의 정보를 모아둔 것을 Mesh라고 한다.

왜 점이 아닌 삼각형으로 물체를 그릴까?

• 점으로 구성된 물체를 가까이서 보는 경우 점들이 퍼지게 되면서 물체의 밀도가 떨어지게 된다.

• But 삼각형으로 물체가 가지고 있는 영역을 설정한 다음 삼각형 내부에 픽셀의 계수를 구하고 각각 칠해주게 된다면 정밀하게 보여줄 수 있게 된다.

• 삼각형이 가지고 있는 영역을 칠해주는 것을 픽셀화(Rasterization) 라고 한다.

삼각형에 대한 수학은 세개의 점과 각 점에 대응되는 계수들로 구성된다.

• 이 계수들은 0~1의 범위를 가진다.

• 어떤 점이 1이라면 나머지는 무조건 0이 되어야 한다.

• 즉, 세 개의 점을 가지고 방정식을 통해 만들어진 새로운 점은 삼각형을 구성하는 세 점 중 어디에 가까운지 그 비중을 나타낼 수 있다.

• 만약 모든 계수의 값이 1/3 이라면 만들어진 점은 삼각형의 정중앙에 위치하게 된다.

• 이 계수들을 모아 좌표를 만든것이 무게중심좌표(Barycentric coordinate)라 한다.

  • 삼각형의 무게중심 좌표를 이용해 픽셀의 색상을 결정할 때 각 점의 데이터를 혼합해서 원하는 결과를 만들어낼 수 있다.

  • 삼각형의 텍스쳐를 오려 붙일 때에도 사용하게 되는데 이때 사용되는 좌표를 UV 좌표라 한다.

• 삼각형을 구성하는 세 점에 색상이나 UV 정보들을 넣어서 삼각형 내부를 칠하는 다양한 효과를 만들어 낼 수 있다

• 삼각형을 구성하는 세 점에다가 Color, UV, Normal, tangent 등 부가적인 데이터를 넣은 각각의 최종적인 점의 데이터 묶음을 정점(Vertex)이라 한다.

하나의 물체를 화면에 그려내는 과정 요약

1. 물체를 세 개의 정점으로 구성된 삼각형으로 분리

2. 분리된 삼각형을 각각 그려서 화면을 채운다.

• 이 과정은 정형화 되어있기 떄문에 렌더링 파이프라인이라고도 부른다. (그래픽카드가 자동으로 처리)

• 이 과정에서 개발자가 커스텀할 수 있도록 제공하는 함수 정점 셰이더, 픽셀 셰이더가 있다.

1. 정점 셰이더(Vertex Shader)

• 삼각형을 구성하는 각 정점의 최종 데이터를 결정하는 함수

2. 픽셀 셰이더(Pixel Shader)

• 삼각형 내부를 구성하는 각 픽셀의 최종 색상을 결정하는 함수

회전의 수학 (삼각함수와 회전행렬)

삼각함수

• 기준 위치에서 얼마만큼의 각을 이용해서 회전했는지를 회전한 값과 반지름을 사용해 표현할 수 있다.

• 단위 원의 반지름의 크기가 1 이라면 원상의 위치한 한 점에 대해 삼각함수로 표현을 하면 sin(θ) → 높이, cos(θ) → 밑변이 된다.

  • 

삼각비

• $\frac{높이}{빗변}$$\frac{밑변}{빗변}$$\frac{높이}{밑변}$ 삼각비의 3가지 종류
• 이러한 비율을 원으로 확장해서 함수로 표현한것이 삼각함수이다.

  sin(θ) => $\frac{높이}{빗변}$

  cos(θ) => $\frac{밑변}{빗변}$

  tan(θ) => $\frac{높이}{밑변}$