벡터의 연산

벡터의 연산

벡터에는 두 가지 기본 연산과 두 가지 응용 연산이 있다.

벡터의 연산을 통해 벡터와 스칼라가 상호 순환하는 시스템이 만들어진다.

스칼라(Scalar)란 사칙연산이 가능한 수 집합의 원소

기본 연산

벡터의 두 기본 연산은 벡터의 생성 시스템에서 사용하는 선형 조합을 구성하는 필수 연산이다.

벡터와 벡터의 덧셈

$v_1 = (x_1,y_2), v_2 = (x_2,y_2) \\ v_1 + v_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$

• 각 축의 크기만큼 평행 이동한다.

벡터와 스칼라의 곱셉

$v = (x, y) \\ av = (ax, ay)$

• 벡터가 가지고 있는 고유한 성질인 기울기를 그대로 유지해서 원점으로부터의 크기를 조절해주는 동작

선형 조합 (Linear Combination)

기본 연산을 조합해서 사용하면 새로운 벡터를 생성할 수 있는데 이것을 선형 조합이라 한다.

$a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 + \cdots + a_nv_n = v$

• 평면의 경우, 평행하지 않은 두 벡터를 조합하면 평면상의 모든 벡터를 생성할 수 있다.

표준기저벡터 (Standard Basic Vector)

• 평면의 모든 벡터를 생성할 수 있는 기저(basic)에서 가장 기본적인 기저 벡터

• 평면에 속하는 모든 벡터는 표준기저벡터 (1, 0)과 (0, 1)의 선형 조합으로 만들어진다.

• 이 둘을 조합하면 공간에 속한 모든 벡터를 쉽게 생성 가능하기 때문에 표준기저벡터라 한다.

응용 연산

기본 연산만으로 표현할 수 있는 부분이 제한적이기 때문에 벡터를 다양하게 응용할 수 있는 별도의 연산

외적과 내적은 서로 부족한 부분을 보충해주는 성질을 가지고 있어 이 두 연산을 조합해서 다양한 문제를 해결할 수 있다.

물리엔진을 사용해서 문제를 해결하기 보다는 내적과 외적이 가지고 있는 수학적 성질을 사용해 1차적으로 문제를 해결하자.

벡터의 내적

$v_1 = (x_1,y_1,z_1), v_2 = (x_2,y_2,z_2) \\ v_1*v_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

• 벡터 응용에 관련된 대부분의 공식에 들어간다.

• 내적 공식은 컴퓨터가 빠르게 계산할 수 있고 많은 곳에서 활용할 수 있다.

• 두 벡터가 직교하고 있는지, 물체가 앞/뒤에 있는지 판별하는데 사용

• 시야각이 주어졌을 때 물체가 안에 들어와있는지 바깥에 있는지 판별

• 어떤 벡터를 다른 벡터에 투영시킬 때 주로 사용된다.

  • 내적의 투영 공식에서 평면의 방정식이 유도되고 평면들이 모여 절두체 영역을 만든다.

벡터의 외적

$v_1 = (x_1,y_1,z_1), v_2 = (x_2,y_2,z_2) \\ v_1 v_2 = (y_1z_2-y_2z_1, z_1x_2 - z_2x_1, x_1y_2 - x_2y_1)$

• 벡터의 외적 연산은 3차원에서만 가능하다.

• 두 벡터의 외적 연산은 서로 다른 요소만 조합해서 사용한다.

• 두 벡터가 평행한지, 물체가 좌/우에 있는지 판별하는데 사용

• 두 벡터가 만들어낸 평면에 수직인 벡터를 만들어내는데 사용된다.

  • 평행하지 않은 두 벡터의 조합은 평면을 만들어낸다.

  • 즉, 평면의 방향을 외적을 통해서 파악 가능

• 이러한 과정을 계속 거치면 3차원을 구성하는 세가지 축을 모두 외적을 통해서 계산 가능하다.